随机变量的数字特征

数学期望

1.基本定义

  • 设离散型随机变量的分布律为若级数绝对收敛,则称是离散型随机变量的数学期望,记作
  • 设连续型随机变量的概率密度为,若积分绝对收敛,则称是连续型随机变量的数学期望,记作

不是所有的随机变量都存在数学期望, 具体需要看是否按照定义绝对收敛

2.随机变量的函数的数学期望

  • 设离散型随机变量的分布律为,若为连续函数,且绝对收敛,则

  • 设连续型随机变量的概率密度为,若为连续函数,且绝对收敛,则

  • 设二维离散型随机向量的分布律为,若为二元连续函数,且绝对收敛,则

  • 设二维连续型随机向量的概率密度为,若为二元连续函数,且绝对收敛,则

实际上,上述的可以看作对应的变换,所以相当于提供了一种求期望的方式

3.数学期望的性质

  4. 若与相互独立,则:

由1、2和3,可以推得

方差与标准差

1.定义

若随机变量满足存在,则称

为的方差,称为的标准差,记为,也就是说

2.方差的性质

计算上:

常用性质

  • 若相互独立,则
  • 的充要条件是
  • 若是相互独立的随机变量,则

马尔可夫不等式:

设为随机变量,若,其中为实数,则对任意正整数,有

协方差和相关系数

协方差和相关系数定义

  • 设为二维随机向量,若存在,则是的协方差,记为,即有: 此外,协方差也可以用以下方式计算:

  • 若,则称为的相关系数,记为,即有:

协方差和相关系数的性质

1.协方差

  • 若与相互独立,则
  • 若存在,则 特别地,有

2.相关系数

  • 若相互独立,则
  • 的充要条件是:存在常数,使得

相关性

定义

若,则称不相关.因为,所以协方差等于零等价于不相关

若相互独立,那么一定不相关;但是如果已知不相关,不能能够说明相互独立

矩和协方差矩阵

矩

矩的定义

设为随机变量,为非负整数.若 存在,则称它是的阶原点矩,简称为阶矩.若 存在,则称它为的阶中心矩. 由此可见,数学期望是一阶原点矩,方差为二阶中心矩

矩的性质

当时,就是

混合矩

混合矩的定义

设为二维随机向量,为非负整数.若 存在,则称它为的阶混合原点矩.若 存在,则陈它为的阶混合中心矩 由此,协方差可以表述为,相关系数

协方差矩阵

定义

设维随机向量的二阶混合中心矩 都存在,则称矩阵 为随机向量的协方差矩阵

大数定律与中心极限定律

随机变量的收敛性与切比雪夫不等式

依概率收敛

定义

设是随机变量序列,另有随机变量,若对于任意,有 则称随机变量序列依概率收敛于,记作

性质

  • ,且在处处连续,则

依分布收敛

定义

设是随机变量序列,其对应的分布函数序列为,另有随机变量,其分布函数为.若对于的每个连续点,有 则称随机变量序列依分布收敛于,记作,或称分布函数序列弱收敛于记为

切比雪夫不等式

若随机变量存在数学期望和方差,则对任意正数,有 上述不等式称为切比雪夫不等式.

大数定律

切比雪夫大数定律

基本内容

设是相互独立的随机变量序列,且分别存在数学期望和方差.若存在常数恒成立,则对任意,有

推论

设是相互独立的随机变量序列,且存在相同的数学期望和方差,则对任意,有

伯努利大数定律

基本内容

设是次独立重复实验中事件的发生次数,是事件在每次试验中发生的概率,则对于任意正数,有 也就是.

辛钦大数定律

基本内容

设是独立同分布的随机变量且存在,则对任意,有 也就是.

中心极限定律

独立同分布的中心极限定律

基本内容

设是独立同分布的随机变量序列,且有有限的数学期望和方差:,则随机变量 的分布函数对于任意实数,都有

棣莫弗-拉普拉斯中心极限定律

基本内容

设随机变量服从参数为的二项分布,则对于任意区间,恒有