题记:

本文章是关于个人整理的一些概率论笔记(水平不够勿喷喵),仅供参考,持续更新感谢各位批评指正喵

一、各种概率分布

1.单点分布

2.两点分布

若随机变量的分布律为，则服从两点分布，记为~

期望，方差

3.二项分布

如果随机变量满足，则：

期望，方差

4.泊松分布

如果随即变量的分布律为则称服从参数为的泊松分布，记作~

期望，方差

5.几何分布

若随机变量的分布律为则称随机变量服从参数为的几何分布，记作~

期望，方差

6.正态分布

若连续型随机变量的概率密度为则称连续型随机变量服从参数为的正态分布，记作~

期望，方差

若二维随机向量的概率密度为则称服从二维正态分布，记作~

7.均匀分布

若连续型随机变量的概率密度为 $或$ 则称连续型随机变量服从区间上的均匀分布，记作~

期望，方差

若二维随机向量的概率密度为其中，是平面上的有界区域，面积为则称服从二维均匀分布

8.指数分布

若连续型随机变量的概率密度为则称连续型随机变量服从参数为上的指数分布，记作~ 此时其分布函数为

期望，方差

9.标准柯西分布

若连续型随机变量的概率密度为则称连续型随机变量服从标准柯西分布

二、概率分布和概率密度

1.概率分布

(1) 定义

是一随机变量，记 $，$ 称是的分布函数

由概率密度计算，公式为

对于二维随机向量，分布函数的定义是

由概率密度计算，公式为

此外，还有边缘分布函数，定义如下

利用概率密度函数计算如下

(2) 性质

对于连续型随机变量：
- 是的单调递增函数
- 是的右连续函数
- 对,,且
对于二维随机向量:
- 对于每一个变量是单调增函数
- 对每个变量是右连续的，即
- 对于任意两点,若，则

2.概率密度

(1) 定义

对于随机变量，若存在非负可积函数，使得对任意区间，有则称为连续型随机变量，并称为的概率密度

对于二维随机向量，若存在一个非负可积函数，使得对于任意区域，都有则称为二维连续型随机向量，称为的概率密度

(2) 性质

对于连续型随机变量
- 若在点处连续，则有
对于二维随机向量
- 若在点的某领域内连续，则

三、连续型随机变量的函数的概率分布

1.Y=g(X)类

设随机变量X具有概率密度，若为上的可导函数，并且恒有 $或$ 。记为反函数，则是连续型随机变量，其概率密度为

对于不满足上述条件的复合,一般是通过先求出Y的分布函数，再求导，再在不可导点处规定为0,即可得到概率密度

四、条件分布和相互独立性

条件分布定义

1.离散型

设是二维离散型随机向量,其分布律以及关于和关于的边缘分布律分别由、和给出,对于固定的,若,则称

为在的条件下的随机变量的条件分布律

类似地,对于固定的,若,则称

为在条件下随机变量的条件分布律

2.连续型

设为二维连续型随机向量，其概率密度为， $而$ 关于Y的边缘概率密度为，若对于固定的,都有,则称

为在的条件下的条件概率密度;而称

为在条件下的条件分布函数

类似地,当时,可定义在条件下的的条件概率密度为

而将

称为在条件下的条件分布函数

随机变量的相互独立性定义

两个事件是相互独立的当且仅当它们满足条件

具体来说:

1.对于二维随机向量,且及是它们的分布函数和边缘分布函数,若对于任意实数恒有

即

则称随机变量和是相互独立的

或者在已知,和是的概率密度和边缘概率密度,则上述条件等价于

$几乎处处成立$

“几乎处处成立”:去除”面积”为0的点集后,仍然成立

2.对于离散型随机向量,而这相互独立的条件等价于对于所有可能的取值都有

则称离散型随机变量和相互独立

独立性相关定理

若随机变量组 $与$ 相互独立, $和$ 是连续函数,则 $与$ 也相互独立
若随机变量相互独立,把它们分为互不相交的k组,每组中的所有变量由一个连续函数复合而生成一个新的随机变量,则这k个随机变量相互独立

比如相互独立,,则所有的相互独立

五、随机向量的函数及其概率分布

1.离散型

对于离散型随机向量的函数，总体思路是设法将新的随机变量（或向量）所表示的事件转化老的随机向量所表示的等价事件

2.连续型

连续型是本部分的重点内容，主要有一下两种：

(1)

假定是从到的一一对应变换,因而存在逆变换,又假定存在连续的一阶偏导数,此时逆变换的函数也应该存在连续的一阶偏导数,雅可比行列式

不恒等于0,则有概率密度为

对应的概率分布函数为

(2)

有时,我们只需要求二维连续型随机向量的一个函数的概率密度.如果已知的概率密度为:

类型	概率密度

其中,如果变换成,则将所有的换成.

上述公式详细证明,参照这篇文章